Beweis, dass jede Primzahllücke, außer der ersten, gerade ist.

Angenommen p < q sind zwei aufeinanderfolgende Primzahlen > 2. Nach 1) sind diese darstellbar als p = 2n+1 und q = 2m+1 mit n < m ∈ ℕ.
λ sei die Lücke zwischen p und q. Angenommen λ wäre ungerade und damit darstellbar als λ = 2o + 1 mit o ∈ ℕ.
Es gilt p + λ = q bzw. umgestellt: λ = q - p. Einsetzen der vorher genannten Darstellungen ergibt :
2o + 1 = (2m+1) - (2n+1). D.h. 2o = 2m + 1 - 2n - 1 - 1. Oder 2o = 2m - 2n - 1. D.h. 2o + 1 = 2(m-n).
Das heißt eine ungerade Zahl (2o+1) ist gleich einer geraden Zahl
(m-n ist ebenfalls ein ∈ ℕ und 2(m-n) ist eine grade Zahl).
Dies ist ein Widerspruch und damit sind alle Primzahllücken für Primzahlen größer 2 gerade.■